Multiples And Sub-Multiples

Multiples And Sub-Multiples

We know,
       \( \sin 3A = \sin (2A + A) = \sin 2A.\,\cos A + \cos 2A\,\,.\sin A \) 
                        = 2 sin A cosA cosA + (1- 2sin²A) . sinA
                        = 2sin (1-sin²A)+ (1-2sin²A) . sinA
  sin3A = 3sinA -4sin3A    ...... (v)

We know,
cos3A   = cos(2A+A) = cos2A . cosA - sin2A. sinA
           = (2cos2A - 1) cosA - 2sinA . cosA . sinA
           = 2cos³A - cosA - 2(1-cos2A) . cosA
           = 2 cos³A - cosA - 2cosA + 2cos3A

  cos3A = 4cos³A - 3cosA .........(vi)

 We know
                          tan 3A = tan(2A + A)
                                    \( = \frac{{\tan 2A + \tan A}} {{1 - \tan 2A.\,\tan A}} \)
                                    \( = \frac{{\frac{{2\tan A}} {{1 - \tan ^2 A}} + \tan A}} {{1 - \left( {\frac{{2\tan A}} {{1 - \tan ^2 A}}} \right)\tan A}} \)
                                    \( = \frac{{\frac{{2\tan A + \tan (1 - \tan ^2 A)}} {{1 - \tan ^2 A}}}} {{\frac{{(1 - \tan ^2 A) - 2\tan ^2 A}} {{1 - \tan ^2 A}}}} \)
\( \tan 3A = \frac{{3\tan A - \tan ^3 A}} {{1 - 3\tan ^2 A}}\,\,\,\,\,\,\, \to \,\,(vii) \)

We know
cot3A = cot(2A+A) =\( \frac{{\cot 2A.\cot A - 1}} {{\cot 2A + \cot A}} \)
                            =\( \frac{{\left( {\frac{{\cot ^2 A - 1}} {{2\cot A}}} \right).\cot A - 1}} {{\left( {\frac{{\cot ^2 A - 1}} {{2\cot A}}} \right) + \cot A}} \)
                            =\( \frac{{\cot ^3 A - 3\cot A}} {{3\cot ^2 A - 1}} \)
\( \cot 3A = \frac{{3\cot A - \cot ^3 A}} {{1 - 3\cot ^2 A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \to \,\,(viii) \)